Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Austauscheigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass man durch eines der ersetzen kann. Da die Körpererweiterung algebraisch ist, gibt es zu jedem ein irreduzibles Polynom mit . Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner sämtlicher Koeffizienten der und können dann annehmen, dass gilt. Nehmen wir an, dass sämtliche sogar zu gehören. Dann wäre die Körperkette

eine nach Aufgabe algebraische Erweiterung und insbesondere wäre algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die algebraisch unabhängig sind. Es gibt also ein mit . Wir schreiben

mit

und . Dabei ist zumindest ein für ein . Daher können wir die Gleichung als eine algebraische Gleichung für über lesen. Dies bedeutet, dass algebraisch über ist.

Wir behaupten, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wobei wir gerade gezeigt haben, dass darüber algebraisch ist. Es ist zu zeigen, dass diese Elemente algebraisch unabhängig sind. Wären sie algebraisch abhängig, so müsste algebraisch über sein. Doch dann wäre, wieder wegen der Transitivität von algebraisch, auch algebraisch über im Widerspruch zur Voraussetzung.