Körper/Polynomring/Nicht endlich erzeugt/Beispiel

Der Polynomring ${}R=K[X]$ über einem Körper ${}K$ ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir ${}n$ Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$. Es sei ${}d$ das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede ${}K$-Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}$ maximal den Grad ${}d$. Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.