Körper/Vektorraum/Bilinearform/Dualität/Spur/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum Es sei ${}\Phi$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Dann definiert jeder Vektor ${}v\in V$ über

$\Phi (v,-)\colon V\longrightarrow K,\,u\longmapsto \Phi (v,u),$

eine Linearform auf ${}V$, also ein Element des Dualraumes ${}{V}^{*}$. Wenn die Bilinearform ${}\Phi$ nichtausgeartet ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe Fakt, das zugehörige ${}v$ heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist, so ist die Spurform auf ${}L$, also die Abbildung

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung separabel ist.

Es sei ${}R\subseteq Q(R)=K$ und wieder ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem ${}R$-Untermodul ${}U\subseteq V$ setzt man

${}U^{*}={\left\{v\in V\mid \Phi (v,u)\in R{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

und nennt dies den Dualmodul zu ${}U$ (bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring). Man denke etwa an ${}R=\mathbb {Z}$, ${}V=L$ einer endlichen Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$, an ein gebrochenes Ideal ${}U={\mathfrak {a}}$ und an die Spurform.