Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist eine endlichdimensionale -Algebra. Wir müssen zeigen, dass ein Körper ist. Es sei dazu ein von verschiedenes Element. Damit ist auch , sodass wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Fakt, das Element algebraisch über und es gibt ein Polynom , , mit . Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von heraus und schreiben , wobei der konstante Term von von verschieden sei. Die Ersetzung von durch ergibt

Da ist und sich alles im Körper abspielt, folgt . Wir können durch den konstanten Term von dividieren und erhalten die Gleichung

Umstellen ergibt

Das heißt, dass das Inverse zu sich als Polynom in schreiben lässt und daher zu und erst recht zu gehört.