Nach
Fakt
ist
eine endlichdimensionale -Algebra. Wir müssen zeigen, dass ein
Körper
ist. Es sei dazu
ein von verschiedenes Element. Damit ist auch
,
sodass wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach
Fakt,
das Element algebraisch über und es gibt ein Polynom
, ,
mit
.
Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von heraus und schreiben
,
wobei der konstante Term von von verschieden sei. Die Ersetzung von durch ergibt
-
Da
ist und sich alles im Körper abspielt, folgt
.
Wir können durch den konstanten Term von dividieren und erhalten die Gleichung
-
Umstellen ergibt
-
Das heißt, dass das Inverse zu sich als Polynom in schreiben lässt und daher zu und erst recht zu gehört.