Körpererweiterung/Galois/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=\operatorname {Aut} _{K}\,(L)\,$

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Es ist eine grundlegende Frage, welche Eigenschaften eines Elementes ${}x\in L$ unter einem ${}K$-Algebraautomorphismus erhalten bleiben und welche nicht.

Unter einem ${}K$-Körperautomorphismus ${}\varphi$ muss ein Element ${}x\in L$, dass Nullstelle eines Polynoms ${}F$ aus ${}K[X]$ ist, auf eine Nullstelle dieses Polynoms abgebildet werden. Das schränkt die Möglichkeiten wesentlich ein.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, ${}x\in L$, ${}F\in K[X]$ ein Polynom mit ${}F(x)=0$ und sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$.

Dann ist auch ${}F(\varphi (x))=0$.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ endlich.

Aus dem Lemma von Dedekind ergibt sich eine direkte Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer endlichen Körpererweiterung.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$

Eine wichtige Frage ist, wann in der vorstehenden Abschätzung Gleichheit vorliegt, wann es also so viele Automorphismen wie möglich gibt. Dies machen wir zur Grundlage der folgenden Definition. Es gibt eine Vielzahl an dazu äquivalenten Eigenschaften.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$

gilt.