Körpererweiterung/Q/sqrt(2)+sqrt(5)/Grad und Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten zunächst, dass

ist. Als eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ist dann algebraisch. Dabei ist die Inklusion

klar. Es ist

Daraus ergibt sich

so dass also und damit auch links dazu gehören, was die andere Inklusion ergibt.

Wir betrachten die Körperkette

Dabei ist die Inklusion links echt, da

irrational ist, so dass links eine quadratische Körpererweiterung vorliegt. Aber auch die Inklusion rechts ist echt, denn andernfalls wäre

was zu führt. Bei ist das erneut im Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von . Bei ist das ein Widerspruch zur Irrationalität von .

Insgesamt liegt also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen vor, so dass aufgrund der Gradformel der Grad von gleich ist.

Zur Bestimmung des Minimalpolynoms von berechnen wir , das ist

Das Minimalpolynom ist gleich

Setzt man nämlich ein, so erhält man . Da den Körper erzeugt, muss das Minimalpolynom den Grad haben, so dass das Minimalpolynom ist.

Zur Bestimmung des Inversen gehen wir von aus. Daher ist das Inverse gleich