K-Modallogik/S5/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}\Gamma _{1}$ das modallogische System, das durch die Gültigkeit von Reflexivitätsaxiom und euklidischem Axiom festgelegt ist. Nach Fakt gilt mit dem Reflexivitätsaxiom auch das Möglichkeitsaxiom. Durch das Reflexivitätsaxiom gilt

$\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$

und mit dem euklidischen Axiom gilt

$\Gamma _{1}\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

was mit dem Kettenschluss

$\Gamma _{1}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

also die Symmetrie ergibt. Aus dem euklidischen Axiom und der Symmetrie ergibt sich nach Fakt auch die Transitivität.

Aus (2) folgt (3). Es sei ${}\Gamma _{2}$ die Vereinigung aus dem Möglichkeitsaxiom, dem Symmetrieaxiom und dem Transitivitätsaxiom. Das Symmetrieaxiom ergibt

$\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha ,$

das Möglichkeitsaxiom liefert

$\Gamma _{2}\vdash \Box \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \Diamond \alpha$

und das Transitivitätsaxiom liefert

$\Gamma _{2}\vdash \Diamond \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Der Kettenschluss darauf angewendet liefert

$\Gamma _{2}\vdash \alpha \rightarrow \Diamond \alpha ,$

also das Reflexivitätsaxiom.

Aus (3) folgt (1). Aus dem Transitivitätsaxiom

$S_{5}\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$

ergibt sich mit Fakt  (2)

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Diamond \Box \Box \alpha .$

Aufgrund des Symmetrieaxioms gilt

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \beta \rightarrow \beta .$

Angewendet auf ${}\beta =\Box \alpha$ ergibt dies

$S_{5}\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

Dies ist gleichwertig zum euklidischen Axiom.

Zur bewiesenen Aussage