Wir müssen zeigen, dass die konstante Nullfunktion und die konstante Einsfunktion auf
, das Negative einer algebraischen Funktion, und die Summe und das Produkt von zwei algebraischen Funktionen auf
wieder algebraisch sind. Wir beschränken uns auf die Summe der algebraischen Funktionen
und
. Es sei
ein Punkt. Nach Voraussetzung gibt es Elemente
mit
-
und
-
Es sei
-

Dann ist
.
Für einen beliebigen Punkt
ist dann
-

was eine polynomiale Darstellung der Summenfunktion in der Zariski-offenen Umgebung
des Punktes
ergibt.