Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}h=0$ liegt der gesamte Kegel in ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sein ${}\lambda ^{n+1}$-Maß ist ${}0$ nach Fakt, sei also ${}h\neq 0$. Der Durchschnitt von ${}K=K_{B}$ mit der durch ${}x_{n+1}=t$, ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}h$, gegebenen Hyperebene ist

${}{\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}$

Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich ${}\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit ${}s=h-t$)

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage