Kegel/Volumen/Diffeomorphe Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ${}\varphi$ induziert eine Bijektion auf ${}\mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}[$ und insbesondere auf der offenen Menge ${}\mathbb {R} ^{n}\times {]0,a_{n+1}[}$. Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

${\begin{pmatrix}1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&0&\cdots &0&{\frac {a_{1}}{a_{n+1}}}\\0&1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&0&0&{\frac {a_{2}}{a_{n+1}}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1-{\frac {t}{a_{n+1}}}&{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

und die Jacobi-Determinante ist

${}{\left(1-{\frac {t}{a_{n+1}}}\right)}^{n}={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}\,.$

Insbesondere liegt auf der offenen Menge ein Diffeomorphismus vor. Das Bild von ${}B\times {]0,a_{n+1}[}$ unter ${}\varphi$ ist gleich dem Kegel ohne die Spitze und ohne die Grundmenge. Da dies jeweils Nullmengen sind, ändert deren Herausnahme nicht das Borel-Lebesgue-Maß. Nach der Transformationsformel ist daher

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{B\times [0,a_{n+1}]}{\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}d\lambda ^{n+1}\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \int _{B}1d\lambda ^{n}\cdot \int _{0}^{a_{n+1}}{\left(a_{n+1}-t\right)}^{n}dt\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \lambda ^{n}(B)\cdot \int _{0}^{a_{n+1}}s^{n}ds\\&={\frac {1}{a_{n+1}^{n}}}\cdot \lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}{a_{n+1}}^{n+1}\\&={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B){a_{n+1}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe