Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt

Die Transformationsformel

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}S\subseteq G$ eine messbare Menge.

Dann ist ${}\varphi (S)$ ebenfalls messbar und es gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (S))=\int _{S}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen