Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Diffeomorphismus und seine Umkehrabbildung sind stetig, daher liegt eine Bijektion der messbaren Teilmengen von ${}G$ und von ${}H$ vor. Wir betrachten die beiden Zuordnungen

${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \int _{S}\vert {J(\varphi )(x)}\vert \,d\lambda ^{n}(x),$

also das Maß auf ${}G$ mit der Dichte ${}\vert {J(\varphi )(x)}\vert$, und

${\mathcal {B}}(G)\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,S\longmapsto \lambda ^{n}(\varphi (S)),$

also das Bildmaß von ${}\lambda ^{n}$ unter der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$, und müssen zeigen, dass diese beiden Maße gleich sind.
Nach Fakt gilt die Gleichheit für alle kompakten achsenparallelen Quader. Aufgrund von Aufgabe bzw. Fakt gilt die Gleichheit auch für alle offenen bzw. „nach oben halboffenen“ achsenparallelen Quader, also Produkte von nach oben halboffenen Intervallen. Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von diesen zuletzt genannten Quadern bilden einen Mengen-Präring im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Diese Menge ist auch ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für das System der Borelmengen. Daher müssen nach Fakt die beiden Maße generell übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage