Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt

Eindeutigkeitssatz für Maße

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {A}}$. Es seien ${}\mu _{1}$ und ${}\mu _{2}$ zwei Maße auf ${}(M,{\mathcal {A}})$, die auf ${}{\mathcal {E}}$ übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}M_{n}\in {\mathcal {E}}$ und mit

${}\mu _{1}(M_{n})=\mu _{2}(M_{n})<\infty \,.$

Dann ist

${}\mu _{1}=\mu _{2}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen