KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Stammbruchkonvergenz/Aufgabe/Lösung

1. Genau dann ist

   ${}a_{n+1}>a_{n}\,,$

   wenn ${}n+1$ eine Primzahlpotenz ${}p^{k}$, ${}k\geq 1$, (${}p$ Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist ${}14,15$, die Antwort ist also ${}13$.

2. Für ${}n\geq 2$ ist ${}a_{n}$ insbesondere ein Vielfaches von ${}n$ und ${}n-1$. Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist ${}a_{n}$ ein Vielfaches von ${}n(n-1)$. Somit ist

   ${}a_{n}\geq n(n-1)\,$

   und

   ${}{\frac {1}{a_{n}}}\leq {\frac {1}{n(n-1)}}\,.$

   Also ist

   ${}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}\\&\leq 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)^{2}}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.\end{aligned}}$

   Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor.

Zur gelösten Aufgabe