Kleinsche Vierergruppe/Matrixrealisierung/Aufgabe/Lösung

Da alle beteiligten Matrizen Diagonalmatrizen sind, ist die Multiplikation besonders einfach. Insbesondere die Kommutativität und die Eigenschaft, dass jedes Element zu sich selbst invers ist, sind sofort klar. Wegen

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

ist die Matrizenmenge abgeschlossen unter der Multiplikation. Da die Einheitsmatrix und die Inversen dazugehören, handelt es sich um eine Untergruppe.

Zur gelösten Aufgabe