Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe

Eine Person verbreitet auf dem Campus das Gerücht, Professor Knopfloch hätte gestern zwei verschiedene Schuhe angehabt, nämlich eine Sandale und einen Gummistiefel. Das Gerücht verbreitet sich auf dem Campus derart, dass jede Person, die es hört, das Gerücht an jedem folgenden Tag einer weiteren Person erzählt, die es dann auch glaubt. Am Tag ${}1$ glaubt das Gerücht also eine Person, am Tag ${}2$ zwei Personen, am Tag ${}3$ vier Personen u.s.w.

1. Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes auf dem Campus beschreibt (Zeit in Tage), wenn das Gerücht stets einer neuen Person erzählt wird, die es noch nicht kennt. Wie lautet die Lösung dieser Differentialgleichung?
2. Nach wie vor erzählt jede Person, die von dem Gerücht gehört hat, das Gerücht pro Tag einer Person auf dem Campus. Wir berücksichtigen nun aber den Umstand, dass die Zielperson das Gerücht eventuell schon kennt, was zu Beginn der Gerüchtausbreitung zwar unerheblich ist, aber mit den Tagen zunehmend an Bedeutung gewinnt. Auf dem Campus bewegen sich ${}10000$ Personen. Ob das Gerücht einer Person erzählt wird, die das Gerücht schon kennt, hängt einfach von der Rate ab, wie viele das Gerücht schon kennen. Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes in diesem Modell beschreibt.
3. Zeige, dass es in der Situation aus Teil (2) eine Lösung der Form

   ${}z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,$

   gibt.

4. Wie ist in Teil (3) ${}c$ zu wählen?

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen