Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe/Lösung


  1. Es sei die Anzahl der Personen, die zum Zeitpunkt (in Tagen) das Gerücht glaubt. Jedenfalls ist das Wachstum von , also , proportional zu , die Differentialgleichung hat also die Form

    mit einer Lösungsfunktion . Da in einem Tag sich der Wert der Funktion verdoppelt, ist

    und wegen

    ist die Lösungsfunktion

  2. Wir schreiben für die Anzahl der Personen in diesem Modell, die zum Zeitpunkt (in Tagen) das Gerücht glaubt. Es ist dann der Anteil der Personen, die das Gerücht glaubt und

    der Anteil der Personen, die das Gerücht nicht kennt. Für den Zuwachs der Personenanzahl, die das Gerücht glauben, ist das Produkt aus der Personenanzahl, die das Gerücht kennen, und diesem Anteil entscheidend. Es liegt daher die Differentialgleichung

    vor. Um am Anfang auf den Faktor zu kommen, muss wieder

    genommen werden.

  3. Wir zeigen, dass

    die Differentialgleichung

    löst. Die linke Seite ist

    und die rechte Seite ist ebenso

  4. Da bei der Wert rauskommen soll, müssen wir

    nach auflösen. Das bedeutet

    und schließlich