Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}y(t)$ die Anzahl der Personen, die zum Zeitpunkt ${}t$ (in Tagen) das Gerücht glaubt. Jedenfalls ist das Wachstum von ${}y(t)$, also ${}y'(t)$, proportional zu ${}y$, die Differentialgleichung hat also die Form

   ${}y'=\alpha y\,$

   mit einer Lösungsfunktion ${}ce^{\alpha t}$. Da in einem Tag sich der Wert der Funktion verdoppelt, ist

   ${}\alpha =\ln 2\,$

   und wegen

   ${}y(1)=1\,$

   ist die Lösungsfunktion

   ${}y(t)={\frac {1}{2}}e^{\ln \left(2\right)\cdot t}={\frac {1}{2}}\cdot 2^{t}\,.$

2. Wir schreiben ${}z(t)$ für die Anzahl der Personen in diesem Modell, die zum Zeitpunkt ${}t$ (in Tagen) das Gerücht glaubt. Es ist dann ${}{\frac {z(t)}{10000}}$ der Anteil der Personen, die das Gerücht glaubt und

   ${}{\frac {10000-z(t)}{10000}}=1-{\frac {z(t)}{10000}}\,$

   der Anteil der Personen, die das Gerücht nicht kennt. Für den Zuwachs der Personenanzahl, die das Gerücht glauben, ist das Produkt aus der Personenanzahl, die das Gerücht kennen, und diesem Anteil entscheidend. Es liegt daher die Differentialgleichung

   ${}z'=\alpha z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,$

   vor. Um am Anfang auf den Faktor ${}2$ zu kommen, muss wieder

   ${}\alpha =\ln 2\,$

   genommen werden.

3. Wir zeigen, dass

   ${}z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,$

   die Differentialgleichung

   ${}z'=\ln \left(2\right)z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,$

   löst. Die linke Seite ist

   ${}{\begin{aligned}z'(t)&=\left({\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\right)'\\&={\frac {10000\cdot \ln \left(2\right)\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}\end{aligned}}$

   und die rechte Seite ist ebenso

   ${}{\begin{aligned}\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left(1-{\frac {1}{1+2^{c-t}}}\right)}&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left({\frac {2^{c-t}}{1+2^{c-t}}}\right)}\\&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}.\end{aligned}}$

4. Da bei ${}t=1$ der Wert ${}1$ rauskommen soll, müssen wir

   ${}{\frac {10000}{1+2^{c-1}}}=1\,$

   nach ${}c$ auflösen. Das bedeutet

   ${}10000=1+2^{c-1}\,,$

   ${}9999=2^{c-1}\,,$

   ${}c-1=\log _{2}9999\,$

   und schließlich

   ${}c=1+\log _{2}9999\,.$

Zur gelösten Aufgabe