Kommutative Algebra/Modultheorie/Abelsche Gruppen/Beispiel

Jede kommutative Gruppe ${}G$ ist auf natürliche Weise ein ${}\mathbb {Z}$-Modul.

Die Skalarmultiplikation ist folgendermaßen definiert:

$\mathbb {Z} \times G\longrightarrow G,\,(z,g)\longmapsto zg.$

Daher ist ein Erzeugendensystem von ${}G$ als Gruppe auch ein Erzeugendensystem von ${}G$ als ${}\mathbb {Z}$-Modul und umgekehrt.

Da jeder Modul als Grundmenge definitionsgemäß eine kommutative Gruppe besitzt und alle Vektorräume über Körpern insbesondere Moduln sind, zeigt uns dieses Beispiel unter Anderem, dass es im Allgemeinen viele Möglichkeiten gibt, eine gegebene Gruppe als Grundmenge eines Moduls zu interpretieren.