Kommutative Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator Schnittmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$. Es sei ${}i\in I$ und ${}x_{i}\in M_{i}$. Weil ${}x_{i}$ als Element in ${}M$ aufgefasst werden kann ist ${}ax_{i}=0$. Daher ist ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle ${}i\in I$.

Es sei umgekehrt ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M_{i}$ für alle ${}i\in I$. Es sei ${}x\in M$. Weil ${}M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ gibt es eine Darstellung ${}x=\sum _{i\in J\subseteq I}x_{i}$, mit ${}x_{i}\in M_{i}$ und ${}J$ endlich. Daher ist ${}ax=\sum _{i\in J\subseteq I}ax_{i}=0$. Deshalb ist ${}a\in \operatorname {Ann} _{R}M$.

Zur bewiesenen Aussage