Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}A\subseteq B$ ${}S$-Moduln und

$\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},$

ein ${}S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass ${}\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten ${}A$ und ${}B$ als ${}R$-Moduln und wir betrachten den ${}R$-Modulhomomorphismus

$A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.$

Aufgrund der Injektivität von ${}I$ als ${}R$-Modul gibt es eine ${}R$-lineare Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

$B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),$

ein ${}S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

$S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I$

zu ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist ${}S$-linear aufgrund der ${}S$-Modulstruktur von ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$. Für ${}a\in A$ gilt ${}{\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$, sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.

Zur bewiesenen Aussage