Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

${}G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,$

mit einer endlichen Torsionsgruppe ${}T$. Wir betrachten

$\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.$

Dann ergibt jede Norm auf ${}\mathbb {R} ^{r}$ im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf ${}G$, siehe Beispiel. Ferner ist

${}G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,$

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion ${}h$ gegeben und sei ${}A\subseteq G$ ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe ${}G/mG$. Zu jedem ${}a\in A$ gibt es eine reelle Zahl ${}S_{1}(a)$ derart, dass

${}h(-a+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}(a)\,$

für alle ${}Q\in G$. Wir setzen

${}S:=S_{2}+\max\{S_{1}(a),\,a\in A\}\,,$

wobei ${}S_{2}$ von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem ${}P\in G$ gibt es ein ${}a\in A$ mit ${}[P]=[a]$ in ${}G/mG$, daher gibt es ein ${}P'\in G$ mit ${}P=mP'+a$ in ${}G$. Dabei gilt

${}{\begin{aligned}h(P')&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(mP')+S_{2}\right)}\\&={\frac {1}{m^{2}}}{\left(h(P-a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S_{1}(a)+S_{2}\right)}\\&\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P)+S\right)}.\end{aligned}}$

Die Konstruktion

${}P=mP'+a\,$

können wir iterieren, wir setzen ${}P_{0}=P$,

${}P_{0}=mP_{1}+a_{1}\,,$

${}P_{1}=mP_{2}+a_{2}\,,$

etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung

${}h(P_{n+1})\leq {\frac {1}{m^{2}}}{\left(2h(P_{n})+S\right)}\,$

und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe

${}{\begin{aligned}h(P_{n})&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}{\left(1+{\frac {2}{m^{2}}}+\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n-1}\right)}\\&\leq \left({\frac {2}{m^{2}}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}}}\cdot {\frac {m^{2}}{m^{2}-2}}\\&\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}h(P)+{\frac {S}{m^{2}-2}}.\end{aligned}}$

Für ${}n$ hinreichend groß ist somit

${}h(P_{n})\leq 1+{\frac {S}{2}}\,.$

Es ist daher

${}P=m^{n}P_{n}+\sum _{j=1}^{n}m^{j-1}a_{j}\,$

mit gewissen ${}a_{j}\in A$ und somit ist insgesamt die endliche Menge

$A\cup {\left\{Q\in G\mid h(Q)\leq 1+{\frac {S}{2}}\right\}}$

ein Erzeugendensystem der Gruppe.

Zur bewiesenen Aussage