Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe/Lösung

Wenn die Äquivalenzrelation von einer Untergruppe ${}H$ herrührt, so folgt die Verträglichkeit direkt daraus, dass

${}\mu -\nu ,\alpha -\beta \in H\,$

direkt

${}\mu +\alpha -(\nu +\beta )\in H\,$

impliziert.

Es sei umgekehrt eine verträgliche Äquivalenzrelation gegeben. Wir setzen

${}H:={\left\{\nu \in M\mid \nu \sim 0\right\}}\,.$

Wenn ${}\alpha -\beta \in H$ ist, so ist ${}\alpha -\beta \sim 0$ und damit wegen der Verträglichkeit durch Addition mit ${}\beta$ auch ${}\alpha \sim \beta$. Wenn hingegen ${}\alpha \sim \beta$ gilt, so folgt durch Addition mit dem Negativen von ${}\beta$ wegen der Verträglichkeit auch

${}\alpha -\beta \sim 0$.

Zur gelösten Aufgabe