Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung

Eine Familie von Elementen ${}m_{i}\in M$, ${}i\in I$, in einem Monoid ${}M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus ${}\mathbb {N} ^{(I)}\rightarrow M$, indem das ${}i$-te Basiselement ${}e_{i}$ auf ${}m_{i}$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen ${}I={\{1,\ldots ,n\}}$ relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch ${}X_{i}\mapsto X^{m_{i}}$ gegeben ist.