Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist

${}R[M]\subseteq R[{\tilde {M}}]\subseteq R[\Gamma (M)]\subseteq Q(R)[\Gamma (M)]\subseteq Q(R[M])\,.$

Es sei ${}m\in {\tilde {M}}$ mit $m=n-k,\,n,k\in M$, und mit ${}rm=m+m+\cdots +m\in M$ (${}r$ mal). Damit ist ${}T^{m}=T^{n}/T^{k}$ ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist ${}(T^{m})^{r}\in R[M]$. Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für ${}T^{m}$ vorliegt und damit ${}T^{m}$ zur Normalisierung von ${}R[M]$ gehört. Somit gilt ${}K[{\tilde {M}}]\subseteq K[M]^{\operatorname {norm} }$. Für die Umkehrung kann man ${}M$ durch ${}{\tilde {M}}$ ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo ${}M$ normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe ${}G$ der Gruppenring ${}R[G]$ normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass ${}R[M]$ in ${}R[\Gamma (M)]$ ganz-abgeschlossen ist. Ein Element ${}q\in R(\Gamma (M))$ und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe ${}U\subseteq \Gamma (M)$, sodass man ${}\Gamma (M)=\mathbb {Z} ^{n}$ annehmen darf.

Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ als der Durchschnitt (innerhalb von ${}\mathbb {Q} ^{n}$ oder ${}\mathbb {R} ^{n}$) von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen ${}H_{i}$ (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum ${}H$ durch eine lineare Abbildung ${}p\colon V=\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}H=p^{-1}(\mathbb {R} _{+})$ gegeben. Daraus folgt, dass ${}M$ ein endlicher Durchschnitt ${}M=\bigcap _{i\in I}M_{i}$ mit ${}M_{i}=p_{i}^{-1}(\mathbb {N} )$ ist. Daraus ergibt sich, dass die ${}M_{i}$ eine Form ${}M_{i}\cong \mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}$ haben. Damit ist ${}R[M]=\bigcap _{i\in I}R[M_{i}]$ nach Aufgabe normal, da die einzelnen ${}R[M_{i}]\cong R[\mathbb {N} \times \mathbb {Z} ^{n-1}]$ normal sind.

Zur bewiesenen Aussage