Kommutative Ringtheorie/Folgenring über Q und R/Aufgabe

1. Zu einem Körper ${}K$ sei ${}R=\operatorname {Folg} _{\rm {}}(K)$ die Menge der Folgen mit Werten in ${}K$. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
2. Es sei von nun an ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen ${}\operatorname {Folg} _{\rm {konv}}(K)$ einen Unterring von ${}R$ bildet.
3. Zeige im Fall ${}K=\mathbb {Q}$, dass die Menge ${}\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )$ der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
4. Betrachte nun die Menge ${}N$ der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass ${}N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn ${}x\cdot y\in N$ ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )\longrightarrow \mathbb {R}$

   derart, dass eine Ringisomorphie

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   entsteht.

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