Die Ganzheitsgleichungen , zeigen, dass jedes Element aus ganz über ist. Seien
und
ganz über . Nach
der Charakterisierung der Ganzheit
gibt es endliche -Unteralgebren
mit
und
.
Es sei ein -Erzeugendensystem von und ein -Erzeugendensystem von . Wir können annehmen, dass
ist. Betrachte den endlich erzeugten -Modul
-
der offensichtlich und
(und )
enthält. Dieser -Modul ist auch wieder eine -Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
-
und für die Produkte gilt
und
,
sodass diese Linearkombination zu gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von , der enthält. Also liegt eine -Unteralgebra vor.