Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${}x$ erzeugte ${}R$ -Unteralgebra ${}R[x]$ von ${}S$ , die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${}x$ mit Koeffizienten aus ${}R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

{}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,

ergibt sich

{}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.

Man kann also ${}x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${}x^{i}$ kann man jede Potenz von ${}x$ mit einem Exponenten ${}\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${}\leq n-1$ ersetzen. Damit ist

{}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,

und die Potenzen ${}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von ${}T=R[x]$ .

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Sei ${}x\in T\subseteq S$ , ${}T$ eine ${}R$ -Unteralgebra, die als ${}R$ -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist ${}xT\subseteq T$ , und ${}T$ enthält den Nichtnullteiler ${}1$ .

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Sei ${}M\subseteq S$ ein endlich erzeugter ${}R$ -Untermodul mit ${}xM\subseteq M$ . Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$ . Dann ist insbesondere ${}xy_{i}$ für jedes ${}i$ eine ${}R$ -Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$ . Dies bedeutet

{}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,

mit ${}r_{ij}\in R$ , oder, als Matrix geschrieben,

{}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.

Dies schreiben wir als

{}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}S$ ), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ( ${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ ) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$ , also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$ . Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit