Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/ist faktoriell/Fakt mit Beweisklappe
In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten , so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung , wobei eine Einheit ist und die Repräsentanten sind.
Beweis
Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ist und es eine Permutation auf gibt derart, dass und assoziiert sind für alle . Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über . Es sei zuerst (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was bedeutet.
Es sei also und die Aussage sei für alle kleineren bewiesen. Die Gleichung bedeutet insbesondere, dass das Produkt rechts teilt. Da prim ist, muss nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass von geteilt wird. Da ebenfalls prim ist, sind und assoziiert. Also ist
mit einer Einheit und man kann die Gleichung nach kürzen und erhält
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann und dass jedes zu einem assoziiert ist.