Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring ${}R[X]$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ in ${}R$ durch

${}{\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$

Das Menge ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad ${}n$ aus ${}{\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in ${}R$ (wobei wir hier ${}0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$, da man ja ein Polynom ${}F$ vom Grad ${}n$ mit Leitkoeffizient ${}c$ mit der Variablen ${}X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad ${}n+1$ zu erhalten, das wieder ${}c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da ${}R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei ${}n$ so, dass ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$ ist.

Zu jedem ${}i\leq n$ sei nun ${}{\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$ ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

${}F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$

zugehörige Polynome aus ${}{\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).

Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {b}}$ von allen ${}{\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes ${}G\in {\mathfrak {b}}$ durch Induktion über den Grad von ${}G$, dass es als Linearkombination mit diesen ${}F_{ij}$ darstellbar ist. Für ${}G$ konstant, also ${}G\in R$, ist dies klar. Es sei nun der Grad von ${}G$ gleich ${}d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

${}G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$

Es ist ${}c\in {\mathfrak {a}}_{d}$ und damit kann man ${}c$ als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{ij},0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei ${}d\leq n$ kann man ${}c$ sogar als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{dj},\,j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir ${}c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$. Dann ist ${}G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ${}d>n$ ist

${}c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$

Damit gehört

$G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$

ebenfalls zu ${}{\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette

${}R\subset R[X_{1}]\subset (R[X_{1}])[X_{2}]=R[X_{1},X_{2}]\subset (R[X_{1},X_{2}])[X_{3}]=R[X_{1},X_{2},X_{3}]\subset \ldots \subset R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

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Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper.

Dann ist ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ noethersch.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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