Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal ist Durchschnitt von Primidealen/Aufgabe/Lösung

Sei ${\mathcal {a}}\subset R$ ein Radikal, dann ist ${\mathcal {a}}={\sqrt {\mathcal {a}}}$. Beizeichne $Nil({\mathcal {a}})$ das Nilradikal, also das Ideal, welches alle nilpotenten Elemente enthält, dann folgt aus Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung, dass ${\sqrt {\mathcal {a}}}=Nil(R/{\mathcal {a}})$. Es gilt aber $Nil(R/{\mathcal {a}})=\bigcap _{{\mathcal {p}}\subset R/{\mathcal {a}}{\text{ prime}}}{\mathcal {p}}=\bigcap _{{\mathcal {a}}\subset {\mathcal {p}}\subset R{\text{ prime}}}{\mathcal {p}}$. Also ist ${\mathcal {a}}=\bigcap _{{\mathcal {a}}\subset {\mathcal {p}}\subset R{\text{ prime}}}{\mathcal {p}}$.