Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Idempotente Elemente und randlose Mengen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}D(e)=V(1-e)$ offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

${}D(e)\cup D(1-e)=D(1)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$

und aus

${}D(e)\cap D(1-e)=D(e(1-e))=D(e-e^{2})=D(0)=\emptyset \,.$

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien ${}e_{1},e_{2}$ zwei idempotente Elemente mit ${}U=D(e_{1})=D(e_{2})$. Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte ${}0$ oder ${}1$ annehmen kann, haben sowohl ${}e_{1}$ als auch ${}e_{2}$ auf ${}U$ den Wert ${}1$ und außerhalb den Wert ${}0$. Damit haben ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun ${}U=D({\mathfrak {a}})$ sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal ${}{\mathfrak {b}}$ mit ${}D({\mathfrak {a}})\cup D({\mathfrak {b}})=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}D({\mathfrak {a}})\cap D({\mathfrak {b}})=\emptyset$. Nach Fakt erzeugen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$. Wegen ${}D(a)\cap D(b)=D(ab)=\emptyset$ ist nach Aufgabe das Element ${}ab$ nilpotent und wegen der Reduziertheit ist ${}ab=0$. Also ist

${}a=a\cdot 1=a(a+b)=a^{2}+ab=a^{2}\,$

idempotent. Wegen ${}D(a)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ , ${}D(b)\subseteq D({\mathfrak {b}})$ und ${}D(a)\cup D(b)=K-\operatorname {Spek} \,(R)$ ist ${}U=D({\mathfrak {a}})=D(a)$.

Zur bewiesenen Aussage