Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Produktring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Projektion ${}R_{1}\times R_{2}\rightarrow R_{1}$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus und liefert daher eine stetige Abbildung

(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Ebenso gibt es eine Abbildung auf ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}$. Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}$, also ${}P\colon R_{1}\times R_{2}\rightarrow K$ sei ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Seien ${}e_{1}=(1,0)$ und ${}e_{2}=(0,1)$ die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen ${}e_{1}+e_{2}=1$ und ${}e_{1}e_{2}=0$ wird genau eines dieser Elemente (sagen wir ${}e_{1}$) unter ${}P$ auf ${}0$ abgebildet (das andere auf ${}1$). Dann wird aber ${}R_{1}\times 0$ auf ${}0$ geschickt und ${}P$ faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.

Zur Injektivität seien ${}P_{1},P_{2}$ in der disjunkten Vereinigung gegeben, ${}P_{1}\neq P_{2}$. Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist ${}P_{1}(e_{1})=0$ und für den anderen Punkt ${}P_{2}(e_{1})=1$. Sie sind also verschieden als Elemente in ${}K-\operatorname {Spek} \,(R_{1}\times R_{2})$.

Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.

Zur bewiesenen Aussage