Es sei R {\displaystyle {}R} ein kommutativer Ring und sei a ≠ R {\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq R} ein Ideal in R {\displaystyle {}R} . Zeige: a {\displaystyle {}{\mathfrak {a}}} ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem g ∈ R {\displaystyle {}g\in R} , g ∉ a {\displaystyle {}g\not \in {\mathfrak {a}}} , ein f ∈ a {\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}} und ein r ∈ R {\displaystyle {}r\in R} gibt mit r g + f = 1 {\displaystyle {}rg+f=1} .
