Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Grundeigenschaften/Bemerkung

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als

${}f=\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\,,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {M}}\subseteq M$ eine endliche Teilmenge ist und ${}a_{m}\in R$. Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch

${}f\cdot g={\left(\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\right)}{\left(\sum _{k\in {\bar {M}}}b_{k}e_{k}\right)}=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell ,m\in {\tilde {M}},k\in {\bar {M}}}a_{m}b_{k}\right)}e_{\ell }\,$

gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der ${}\ell$, über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.

Es ist üblich, statt ${}e_{m}$ suggestiver ${}X^{m}$ zu schreiben, wobei ${}X$ ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel ${}X^{m}X^{k}=X^{m+k}$ erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als ${}\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$, wobei fast alle ${}a_{m}=0$ sind. Elemente der Form ${}X^{m}$ nennt man Monome. Die Abbildung ${}M\longrightarrow R[M]$, ${}m\longmapsto X^{m}$, ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.

Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine ${}R$-Algebra, und zwar sind die Elemente ${}f$ aus ${}R$ aufgefasst in ${}R[M]$ gleich

${}f=f\cdot 1=fX^{0}\,.$

Man nennt daher auch ${}R$ den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.