Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine
Einheit
oder
nilpotent
ist. Es sei hierzu
keine Einheit. Dann ist
.
Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach
Fakt
ein Primideal in mit
.
Damit ergibt sich der Widerspruch
.
Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei
.
Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt
-
Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , sodass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .