Kommutative Ringtheorie/Nullteiler/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Element ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}b$ mit ${}ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Die Eins ist stets ein Nichtnullteiler, da aus ${}1b=0$ sofort ${}b=0$ folgt. Andererseits ist das Nullelement stets ein Nullteiler, es sei denn, der Nullring liegt vor. In ${}\mathbb {Z} /(6)$ gilt ${}2\cdot 3=0$ und daher sind ${}2$ und ${}3$ Nullteiler in diesem Ring. Die folgende Aussage bedeutet, dass man in einer Gleichung Nichtnullteiler wegkürzen kann.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler.

Dann folgt aus einer Gleichung

${}fx=fy\,,$

dass ${}x=y$ sein muss.

Beweis

Man kann die Gleichung zu

${}0=fx-fy=f(x-y)\,.$

umschreiben. Da ${}f$ ein Nichtnullteiler ist, ist ${}x-y=0$, also ${}x=y$.

$\Box$

Ein Ring, bei dem es außer der Null keine Nullteiler gibt, heißt nullteilerfrei.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Die Eigenschaft, dass jedes Element ${}\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist, kann man auch so ausdrücken, dass aus ${}ab=0$ stets ${}a=0$ oder ${}b=0$ folgt, bzw., dass mit ${}a\neq 0$ und ${}b\neq 0$ auch ${}ab\neq 0$ ist.