Kommutative Ringtheorie/Nullteiler/Integritätsbereich/Einführung/Textabschnitt


Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Nullteiler, wenn es ein von verschiedenes Element mit gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Die Eins ist stets ein Nichtnullteiler, da aus sofort folgt. Andererseits ist das Nullelement stets ein Nullteiler, es sei denn, der Nullring liegt vor. In gilt und daher sind und Nullteiler in diesem Ring. Die folgende Aussage bedeutet, dass man in einer Gleichung Nichtnullteiler wegkürzen kann.


Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Nichtnullteiler.

Dann folgt aus einer Gleichung

dass sein muss.

Man kann die Gleichung zu

umschreiben. Da ein Nichtnullteiler ist, ist , also .


Ein Ring, bei dem es außer der Null keine Nullteiler gibt, heißt nullteilerfrei.


Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Die Eigenschaft, dass jedes Element ein Nichtnullteiler ist, kann man auch so ausdrücken, dass aus stets oder folgt, bzw., dass mit und auch ist.