Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
die Eigenschaft
besitzt. Wir multiplizieren mit und erhalten in die Gleichung
Wegen Fakt besitzt diese Zahl, nennen wir sie , eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der -Exponent
davon zu jeder Primzahl eindeutig bestimmt. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der -Exponent von kein Vielfaches von ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der -Exponent von kein Vielfaches von , von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.