Bei einem Produkt von Summen in einem kommutativen Halbring muss jeder Summand mit jedem Summanden multipliziert werden. Betrachten wir also
-
![{\displaystyle {}{\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}={\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdot {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\cdots {\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eea886db9c2d70c66ad3ec76779cfa1d03991b)
mit
Faktoren. In jedem Faktor wird jeweils ein Summand
ausgewählt, dies ergibt stets ein Produkt der Form
mit
-
![{\displaystyle {}r_{1}+\cdots +r_{k}=n\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf48676bc1aea53692c2b9652fc09e860c71408)
Dabei ist
die Anzahl, wie oft
ausgewählt wurde. Somit ist die Gesamtpotenz eine Summe mit den Summanden
, und wir müssen uns fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt,
-fach aus der Menge
Elemente zu ziehen, derart, dass die Zahl
genau
-fach gezogen wird.
Die Anzahl dieser Möglichkeiten wird aber durch die Multinomialkoeffizienten
![{\displaystyle {}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc5bcac2054bf23ea6a1c82ce405d7a76ed2af1)
beschrieben.