Kommutativer Ring/Aufblasung/Textabschnitt

Proj der Rees-Algebra.

Wenn ${}I$ ein ${}{\mathfrak {m}}$-primäres Ideal ist, und ${}f_{1},\ldots ,f_{d}\in I$ Parameter, so bilden die ${}D_{+}(f_{i}T)$ eine offene Überdeckung der Aufblasung.

Zu ${}h\in I^{n}$ ist

${}\Gamma (D_{+}(hT^{r}),{\mathcal {O}})={\left\{{\frac {gT^{rs}}{(hT^{r})^{s}}}\mid g\in I^{rs}\right\}}\,$

Zu einem Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})\subseteq R\,$

wird das Urbild unter der kanonischen Abbildung

$\operatorname {Proj} {\left(R(I)\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

durch ${}\bigcup D_{+}(ah)$ mit ${}h\in I$ und ${}a\in I$ beschrieben. Speziell wird zu einem Element ${}f\in R$ das Urbild ${}{\tilde {X}}_{f}$ von ${}D(f)$ durch ${}\bigcup D_{+}(fh)$ mit ${}h\in I$ beschrieben.

$R_{f}\longrightarrow (R(I)_{fh})_{0},\,{\frac {r}{f^{s}}}\longmapsto {\frac {rhT}{f^{s}hT}},$

wobei man ${}r,f^{s}\in R$ und damit ${}rh,f^{s}h\in I$ ausnutzt.

Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ ist der Rückzug auf die Aufblasung gleich der zugehörigen quasikohärenten Garbe zum graduierten Modul ${}M\otimes R(I)$. Dieser ist

${}M\otimes _{R}R(I)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }M\otimes _{R}I^{n}\,$

und der zugehörige Modul auf ${}D_{+}(gT)$ zu ${}g\in I$ ist

${}{\left\{{\frac {v}{g^{n}T^{n}}}\mid v\in M\otimes _{R}I^{n}\right\}}=M\otimes _{R}{\left\{{\frac {a}{g^{n}T^{n}}}\mid a\in I^{n}\right\}}=M\otimes _{R}\Gamma (D_{+}(gT),{\mathcal {O}})\,.$

Eine Cech-Kohomologieklasse ${}{\frac {g}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}}}$ kann man als ${}{\frac {ghT}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}hT}}$ für jedes ${}h\in I$ auffassen, also als Element von

${}{\tilde {X}}_{x_{1}\cdots x_{d}}=\bigcup _{h\in I}D_{+}(x_{1}\cdots x_{d}hT)\,.$

Die Fortsetzbarkeit nach ${}{\tilde {X}}$ bedeutet im Wesentlichen, dass ${}g\in I^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}$ gilt. Man arbeitet mit der Überdeckung

${}{\tilde {X}}=\bigcup D_{+}(x_{i}T)\,.$

Ein Element des Durchschnittes hat dann die Gestalt

${}{\frac {gT^{\alpha }}{(x_{1}T)^{\alpha _{1}}\cdots (x_{d}T)^{\alpha _{d}}}}={\frac {gT^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}}{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{d}^{\alpha _{d}}T^{\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}}}\,$

und ${}g$ muss zur entsprechenden Potenz gehören. Man darf auch mit ${}x_{i}^{\beta }$ erweitern. Deshalb folgt im homogenen isolierten Fall mit ${}I=R_{+}$, dass die Klassen fortsetzbar ist, wenn der Grad des Zählers größergleich der Summe der Parametergrade ist.

Bemerkung  

Es sei

$R{\stackrel {a_{i}}{\longrightarrow }}R^{n}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine Darstellung. Es sei ${}a_{i}\in J^{\alpha _{i}}$, wobei die ${}\alpha _{i}$ nicht eindeutig bestimmt sind. Jedenfalls gilt ${}a_{i}U^{\alpha }$ zur Reesalgebra ${}R$. Dazu gehört die homogene Darstellung

$A{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{i}A(\alpha _{i})\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$

und dazu die Darstellung auf der Aufblasung. Bei ${}\alpha =0$ handelt es sich um das Pullback der Sequenz nach ${}A$ bzw. nach ${}{\tilde {X}}$. Auf ${}U=D(J)$ ergibt sich stets der gleiche Modul. Wir betrachten die Darstellung auf ${}D_{+}(xT)$. Es geht um den Kokern von

$(A_{xT})_{0}{\stackrel {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{\longrightarrow }}\bigoplus (A_{xT})_{\alpha _{i}}.$

Hierbei kann man ${}a_{i}T^{\alpha _{i}}$ als

${}a_{i}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}={\frac {a_{i}T^{\alpha _{i}}}{x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}}}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}\,$

realisieren, wobei rechts der Erzeuger ${}x^{\alpha _{i}}T^{\alpha _{i}}$ der Stufe zu ${}\alpha _{i}$ und links ein Element der nullten Stufe steht. Wenn man mit diesem Grundring

${}B={\left(A_{xT}\right)}_{0}\,$

und diesem Erzeuger arbeitet, so steht hier

$B{\stackrel {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}{\longrightarrow }}B^{n}.$

Der Kokern hängt auch davon ab, ob die ${}{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}$ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn ${}a_{i}\in J^{\alpha _{i}+1}$ ist, so gehört auch ${}{\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}$ zu ${}B$ und dann gilt eben

${}{\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}}}}=x\cdot {\frac {a_{i}}{x^{\alpha _{i}+1}}}\,.$

Sei ${}\alpha \leq \beta$ mit ${}a_{i}\in J^{\beta _{i}}$.

$B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\alpha _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\alpha _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\alpha }\longrightarrow 0$

$B{\stackrel {{\frac {a_{1}}{x^{\beta _{1}}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{x^{\beta _{n}}}}}{\longrightarrow }}B^{n}\longrightarrow M^{\beta }\longrightarrow 0.$

Man hat also insgesamt die Situtation

${\begin{matrix}B&{\stackrel {c_{1},\ldots ,c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\\\!\!\!\!\!Id\downarrow &&\downarrow x_{1}^{\gamma _{1}},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}\!\!\!\!\!&\\B&{\stackrel {x_{1}^{\gamma _{1}}c_{1},\ldots ,x_{n}^{\gamma _{n}}c_{n}}{\longrightarrow }}&B^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Dies induziert einen Homomorphismus ${}M^{\beta }\rightarrow M^{\alpha }$ mit ${}[e_{i}]\mapsto [x^{\gamma _{i}}e_{i}]$. Wenn die ${}\gamma _{i}$ alle positiv sind, so gibt es auch ein umgekehrte Abbildung, die die ${}x$-Torsion annulliert.