Kommutativer Ring/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

Beweis

Die Charakteristik sei ${}n>0$  und es sei angenommen, dass ${}n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}0<a,b<n$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist ${}n_{R}=0$ in ${}R$ und ${}n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Fakt ist ${}a_{R}b_{R}=n_{R}=0$, sodass, weil ${}R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von ${}n$.

$\Box$