Kommutativer Ring/Modul/Dimension/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen

${}\operatorname {dim} {\left(M\right)}\leq \operatorname {grad} \,(P_{M})+1\,$

durch Induktion über die Dimension des Moduls, der Induktionsanfang ist klar. Es sei ${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ mit ${}v\in M$ ein assoziiertes Primideal zu ${}M$, dessen Dimension echt kleiner als die Dimension des Moduls sei. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\cong Rv\longrightarrow M\longrightarrow M/vR=N\longrightarrow 0$

und die Dimension von ${}M$ stimmt mit der Dimension des Restklassenmoduls ${}N$ überein. Ferner ist wegen der Surjektivität von

$M/{\mathfrak {m}}^{n}\longrightarrow N/{\mathfrak {m}}^{n}$

das Hilbert-Samuel-Polynom von ${}M$ größergleich dem Hilbert-Samuel-Polynom von ${}N$. Es genügt also die Abschätzung für ${}N$ zu zeigen. Wegen Fakt können wir so auf den Fall eines Moduls

${}M=R/{\mathfrak {p}}\,$

der gegebenen Dimension und insbesondere mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$ reduzieren. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}$, ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. Dann hat ${}M/fM$ eine kleinere Dimension als ${}M$ und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wir müssen also noch zeigen, dass bei einem Integritätsbereich der Grad kleiner wird, wenn man einen Nichtnullteiler rausdividiert. Das braucht den Krullschen Durchschnittssatz.

Zur bewiesenen Aussage