Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt/Beweis
Beweis
Wir führen Induktion über die Länge des Moduln. Bei gibt es überhaupt nur eine Kompositionsreihe. Es sei die Aussage also für jeden Modul der Länge bewiesen und sei
eine Kette von Untermoduln von maximaler Länge. Jede Kompositionsreihe besitzt natürlich höchstens die Länge . Es sei
eine Kompositionsreihe von . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
Bei muss Gleichheit gelten und dann ist nach Induktionsvoraussetzung. Bei ist die induzierte Abbildung
surjektiv und man hat eine kurze exakte Sequenz
und eine kurze exakte Sequenz
Dabei hat die Länge und nach Induktionsvoraussetzung besitzt die Länge . Dann besitzt eine Länge von zumindest , also und damit .