Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Modul/Stabil/Fakt

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Es sei ${}F$ eine durch die ${}R$-Untermoduln ${}M_{n}\subseteq M$ gegebene ${}{\mathfrak {a}}$-Filtration von ${}M$.

Dann ist der assoziierte graduierte Modul ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul ${}M$ endlich erzeugt und die Filtration stabil ist, so ist ${}\operatorname {Gr} _{F}M$ ein endlich erzeugter ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen