Kommutativer Ring/Nicht noethersch/Moduln/Homomorphismus/Lokalisierungsphänomene/Aufgabe

Sei ${}K$ ein Körper,

${}R=K[X_{n},Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/(X_{n}Y_{n},\,n\in \mathbb {N} )\,$

und ${}{\mathfrak {p}}={\left(X_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)}\subseteq R$.

1. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist.
2. Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}=0$.
3. Zeige ${}{\mathfrak {p}}_{f}\neq 0$ für ${}f\notin {\mathfrak {p}}$.
4. Zeige, dass

   $\varphi \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$

   lokalisiert in ${}{\mathfrak {p}}$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ injektiv ist.

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