Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/X^(p) +XM/Etale Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Die definierende Matrixgleichung

${}X^{(q)}=MX\,$

bedeutet

$X_{st}^{q}=\sum _{k=1}^{r}m_{sk}X_{kt}.$

Ferner ergibt sich aus der Vertauschbarkeit des Frobeniushomomorphismus mit der Determinante und aus dem Determinantenmultiplikationssatz die Beziehung

$(\det X)^{q}=\det M\cdot \det X$

bzw.

$((\det X)^{-1})^{q}=(\det M)^{-1}\cdot (\det X)^{-1}.$

Daher kann man die Potenzen ${}X_{st}^{n}$ und ${}((\det X)^{-1})^{n}$ für ${}n\geq q$ durch ${}A$-Linearkombinationen von kleineren Potenzen ausdrücken, sodass ${}B$ ein endliches ${}A$-Modul-Erzeugendensystem besitzt. Die Matrixgleichung zeigt ebenfalls, dass die ${}A$-Algebra ${}{\tilde {B}}=A[X]/(X^{(q)}-MX)$ (also ohne die Determinante) frei über ${}A$ ist und damit auch flach. Die Flachheit bleibt erhalten, wenn man die Determinante als Nenner aufnimmt.
Zum Beweis, dass eine étale Abbildung vorliegt, müssen wir zeigen, dass ${}dX_{\ell t}=0$ ist für alle Paare ${}(\ell ,t)$. Aufgrund der beschreibenden Gleichungen und wegen ${}q=0$ in ${}A$ ist

$\sum _{k=1}^{r}m_{sk}dX_{kt}=0$

für alle ${}(s,t)$. Es sei ${}C=(c_{\ell s})$ die inverse Matrix zu ${}M$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}0&=\sum _{s=1}^{r}c_{\ell s}(\sum _{k=1}^{r}m_{sk}dX_{kt})\\&=\sum _{k,s}c_{\ell s}m_{sk}dX_{kt}\\&=\sum _{k=1}^{r}(\sum _{s=1}^{r}c_{\ell s}m_{sk})dX_{kt}\\&=dX_{\ell t},\end{aligned}}$

da bei ${}k\neq \ell$ die innere Summe gleich ${}0$ und bei ${}k=\ell$ die innere Summe gleich ${}1$ ist.

Zur bewiesenen Aussage