Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Textabschnitt

Definition

Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring nennt man

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$

die ${}n$-te symbolische Potenz von ${}{\mathfrak {p}}$.

Es gilt

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\left\{f\in R\mid \exists g\notin {\mathfrak {p}}{\text{ mit }}gf\in {\mathfrak {p}}^{n}\right\}}\,$

und insbesondere

${}{\mathfrak {p}}^{n}\subseteq {\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$

Beispiel

Wir betrachten im Ring ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2}\right)}$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(X,Z)$. Es ist

${}{\mathfrak {p}}^{2}={\left(X^{2},XZ,Z^{2}\right)}={\left(X^{2},XZ,XY\right)}=(X){\left(X,Z,Y\right)}\,.$

Dagegen gilt wegen

${}X={\frac {1}{Y}}\cdot Z^{2}\,$

in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Zugehörigkeit ${}X\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ und somit

${}{\mathfrak {p}}^{2}=(X){\left(X,Y,Z\right)}\subset (X)={\mathfrak {p}}^{(2)}\,.$

Definition

Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man

${}{\mathfrak {a}}^{(n)}=\bigcap _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}{\text{ minimales Primoberideal}}}{\mathfrak {a}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R\,$

die ${}n$-te symbolische Potenz von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beispiel

Wir betrachten das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(XY,XZ,YZ)=(X,Y)\cap (X,Z)\cap (Y,Z)\,$

im Polynomring ${}K[X,Y,Z]$. Daran kann man direkt die minimalen Primoberideale ablesen. Es ist

${}{\mathfrak {a}}^{(2)}=(X,Y)^{2}\cap (X,Z)^{2}\cap (Y,Z)^{2}\,$

und da gehört ${}XYZ$ dazu. Allerdings gehört ${}XYZ$ nicht zu ${}{\mathfrak {a}}^{2}$, es liegt also eine echte Inklusion ${}{\mathfrak {a}}^{2}\subset {\mathfrak {a}}^{(2)}$ vor.