Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Für ${}y\in T$ ist ${}y\in V{\left({\mathfrak {p}}_{y}\right)}\subseteq V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, sodass die angegebene Menge eine abgeschlossene Menge ist, die ${}T$ umfasst. Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal mit ${}{\mathfrak {q}}\in V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$, also ${}\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\subseteq {\mathfrak {q}}$. Um zu zeigen, dass ${}{\mathfrak {q}}$ auch zum Abschluss von ${}T$ gehört, muss man zeigen, dass ${}T$ jede offene Umgebung von ${}{\mathfrak {q}}$ schneidet. Es sei also ${}{\mathfrak {q}}\in D(f)$, d.h. ${}f\not \in {\mathfrak {q}}$. Dann ist auch ${}f\not \in \bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}$ und somit gibt es ein ${}x\in T$ mit ${}f\not \in {\mathfrak {p}}_{x}$. Also ist ${}{\mathfrak {p}}_{x}\in D(f)$ und somit ${}T\cap D(f)\neq \emptyset$.
(2) ist ein Spezialfall von (1).
(3) folgt aus (2).

Zur bewiesenen Aussage