Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt

Für das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Abschluss einer Teilmenge ${}T\subseteq X$ ist ${}V{\left(\bigcap _{x\in T}{\mathfrak {p}}_{x}\right)}$.
2. Der Abschluss eines Punktes ${}x\in X$ ist ${}V{\left({\mathfrak {p}}_{x}\right)}$.
3. Ein Punkt ${}x\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn ${}{\mathfrak {p}}_{x}$ ein maximales Ideal ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen