Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Die andere Inklusion beweisen wir durch Kontraposition und nehmen ${}{\mathfrak {p}}\not \in D(T)$ an. Dann ist ${}T\subseteq {\mathfrak {p}}$ und somit gilt

${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq {\mathfrak {p}}\,,$

da ein Primideal ein Radikalideal ist. Daher ist auch ${}{\mathfrak {p}}\notin D(\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$.

(2) und (3) sind klar nach (1) und dem Beweis zu Fakt.
(4). Wenn ${}{\mathfrak {a}}$ nicht das Einheitsideal ist, so gibt es nach Aufgabe ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, also ${}{\mathfrak {m}}\not \in D({\mathfrak {a}})$.
(5). Die Implikation von rechts nach links ist klar. Für die Umkehrung sei ${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ vorausgesetzt. Dann gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}f^{n}\not \in {\mathfrak {b}}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann gibt es auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\supseteq {\mathfrak {b}}$ mit ${}f\not \in {\mathfrak {p}}$. Also ist ${}{\mathfrak {p}}\in D({\mathfrak {a}})$ und ${}{\mathfrak {p}}\not \in D({\mathfrak {b}})$.
(6). Der Nullring besitzt kein Primideal. Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring besitzt nach Aufgabe maximale Ideale.
(7). Jedes Primideal enthält sämtliche nilpotenten Elemente, also ist ${}V({\mathfrak {a}})=X$ für ein solches Ideal. Wenn dagegen ${}{\mathfrak {a}}$ ein nicht nilpotentes Element ${}f$ enthält, so gibt es nach Aufgabe auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\not \in {\mathfrak {p}}$, also ist ${}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq D({\mathfrak {a}})$.
(8). Dies folgt direkt aus ${}D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$.
(9) folgt aus und (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage