Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Quasikompaktheit/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt  (9) ist ${}X=\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})$ genau dann, wenn die Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{i}$, ${}i\in I$, zusammen das Einheitsideal erzeugen. Das von der Familie erzeugte Ideal besteht aus allen endlichen Summen ${}f_{1}+\cdots +f_{n}$ mit ${}f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$. Wenn also das Einheitsideal erzeugt wird, so bedeutet dies, dass es eine endliche Auswahl ${}\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I$ und Elemente ${}f_{j}\in {\mathfrak {a}}_{i_{j}}$ mit ${}\sum _{j=1}^{n}f_{j}=1$ gibt. Dann ist aber

${}X=D(1)=\bigcup _{j=1}^{n}D(f_{j})=\bigcup _{j=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i_{j}})\,$

und somit ist eine endliche überdeckende Teilfamilie gefunden.

Zur bewiesenen Aussage